Beweis der Aussage σ² ≤ μ

Behauptung

Das Quadrat der Standardabweichung σ muss kleiner oder gleich dem Mittelwert μ sein, andernfalls sind die Daten nicht zufallsverteilt.

Für den Beweis wird die binomiale Dichtefunktion verwendet:

Mit
n: Entnahmemenge
r: 'günste Elemente'
p₀: Grundwahrscheinlichkeit

ist die Wahrscheinlichkeit p
p(r) = _nC_r p₀^r (1 -p₀) ^(n-r)

Da diese Funktion für diskret numerische Daten definiert ist, sei noch darauf hingewiesen, dass die für stetig numerische Daten verwendete GAUSS-Dichtefunktion (zumeist als 'Normalverteilung' bezeichnet) mittels der Eigenschaften der binomialen Dichtefunktion konstruiert wurde und somit die Aussagen, die für die binomiale Dichtefunktion gefunden werden, auch für die GAUSS-Dichtefunktion gelten.

Vorausgesetzt wird die bekannte, aus der Definition folgende Tatsache:
Für eine Wahrscheinlichkeit p gilt stets 0 ≤ p ≤ 1

Der Fall einer Wahrscheinlichkeit p = 0 wird als inhaltlich unbedeutend ('unmögliches Ereignis') nicht weiter betrachtet.

Beweis der Behauptung durch Kontraposition:

Bekannt ist für die binomiale Dichtefunktion
(i) Der Mittelwert ist mittels μ = n p₀ berechenbar
(ii) Die Standardabweichung ist mittels σ = √ ( n p₀ ( 1- p₀ ) ) berechenbar

Behauptet wird: Es kann das Quadrat der Standardabweichung größer als der Mittelwert sein, also

μ < σ²

Mit den Aussagen (i) und (ii) ist lässt sich also schreiben

n p₀ < ( √ ( n p₀ ( 1- p₀ ) ) )²

Ein Kürzen der Wurzel gegen das Quadrat liefert dann

n p₀ < n p₀ ( 1- p₀ )

Da n p₀ > 0 stets gilt, darf durch n p₀ dividiert werden, dann bleibt

1 < 1 - p₀

so dass nach Addition von p₀ und Subtrahieren von 1

p₀ < 0       ↯

als Widerspruch zur Voraussetzung verbleibt.

Die Behauptung, das Quadrat der Standardabweichung kann größer als der Mittelwert sein, ist damit falsifiziert.

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